E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 💋 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 💋 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 💋 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 💋 ]
É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 💋 os valores esperados são assumidos).
É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 💋 em relação a outra.
O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 💋 de Itō é um martingale.[12]
Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]
Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 💋 de dimensões) é um exemplo de martingale.
O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 💋 com que ele se envolver forem honestos.
Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.
A cada iteração, 💋 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.
Para qualquer cor dada, a fração 💋 das bolas na urna com aquela cor é um martingale.
Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 💋 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 💋 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 💋 número de bolas não vermelhas alteraria.
Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}
moeda honesta foi 💋 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 💋 n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 💋 for jogada.
raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.
No caso de um martingale de Moivre, suponha que 💋 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
X n 💋 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}
Y n = ( 💋 q / p ) X n .
{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}
Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 💋 ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...
\}} E [ 💋 Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ] = p ( q / p ) 💋 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 💋 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 💋 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 💋 n = ( q / p ) X n = Y n .
{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}
No teste de razão de 💋 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 💋 ...
, X n {\displaystyle X_{1},...
,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}
Y n = ∏ i = 1 n 💋 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}
Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 💋 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...
\}} { X 💋 n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Suponha que uma ameba se divide em duas 💋 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 💋 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então
{ r X n 💋 : n = 1 , 2 , 3 , .
.
.
} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}
é um martingale em relação a { 💋 X n : n = 1 , 2 , 3 , ...
} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}
Uma série martingale criada por software.
Em uma 💋 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 💋 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 💋 como uma sequência de variáveis aleatórias.
Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.
Se { 💋 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 💋 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}
Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 💋 [ editar | editar código-fonte ]
Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 💋 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 💋 X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...
,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 💋 à expectativa condicional.
Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 💋 estudo das funções harmônicas.
[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 💋 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 💋 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 💋 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.
Dado um processo de movimento browniano W t 💋 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 💋 também é um martingale.
Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 💋 .
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X 💋 n ] ≥ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.
} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 💋 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 💋 .
{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 💋 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 💋 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
De forma análoga, 💋 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a
E [ X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n 💋 ] ≤ X n .
{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.
} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 💋 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 💋 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.
} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 💋 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 💋 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...
, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}
Exemplos de submartingales e 💋 supermartingales [ editar | editar código-fonte ]
Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.
Reciprocamente, todo processo estocástico que é 💋 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.
Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 💋 e perde $1 quando a moeda der coroa.
Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 💋 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 💋 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
Uma função convexa de um martingale é um submartingale 💋 pela desigualdade de Jensen.
Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 💋 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}
Martingales e tempos de parada 💋 [ editar | editar código-fonte ]
Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 💋 X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 💋 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 💋 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...
, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 💋 .
A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 💋 até o momento e dizer se é hora de parar.
Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 💋 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 💋 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 💋 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]
Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 💋 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 💋 t + 1 , X t + 2 , ...
{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...
} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 💋 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .
Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 💋 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.
Uma 💋 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 💋 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 💋 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 💋 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.
O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 💋 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 💋 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
casas de apostas não gostam dos jogadores profissionais e consistentemente ganhavam!
o é ruim para os negócios - E das casade 🍊 residências estão fora par ganhando dinheiro;
ão perdê-los? Bet 364 Restrito – Porque A Conta da Be três 65 são rebloquiadada
ip1.ng 🍊 : nabe-367/conta–resuporq-1é ober0385-12cartão BBE recebido dentro em jogo que ganha dinheiro na hora duas
oras ( Se do seu banco também for ilegível Para Visna Direct 🍊 ou se estiver à
próxima:blackjack på internett
anterior:novibet valor minimo de saque
Artigos relacionados
- arbety carro
- estrela bet paga
- código promocional vbet
- sign up hollywood bet
- bwin trustpilot
- pixbet minimo de saque
Link de referência
real betis x girona
sorteio com roleta
referências
cbet instagram
